指数函数分布概率密度的期望
在概率论中，指数函数分布是一种连续概率分布，它广泛应用于各种领域，如等待时间、故障时间和粒子衰变。该分布的概率密度函数为：
f(x) = λe^(-λx)
其中，λ 是正实数参数，表示分布的速率。
期望
期望，也称为均值，是随机变量可能取值的加权平均值。对于指数函数分布，期望为：
E(X) = 1/λ
推导
期望的公式可以如下推导：
E(X) = ∫xf(x)dx
= ∫xλe^(-λx)dx
= [-xe^(-λx)]_0^∞ + ∫e^(-λx)dx
= 0 + 1/λ
= 1/λ
意义
指数函数分布的期望具有以下意义：
- 平均等待时间：如果该分布用于描述等待某个事件发生的时间，则期望表示平均等待时间。
- 平均故障时间：如果该分布用于描述设备的故障时间，则期望表示平均故障时间。
- 平均寿命：如果该分布用于描述粒子的寿命，则期望表示平均寿命。
应用
指数函数分布及其期望在实际应用中非常有用，如：
- 排队理论：预测客户在服务队列中等待的时间。
- 可靠性工程：评估设备的可靠性和故障率。
- 放射性衰变：预测放射性元素的衰变时间。
- 生物学：研究生物体的寿命和生存率。
示例
假设一家商店的收银台每天平均处理 10 位顾客（λ = 10）。顾客等待结账的平均时间为：
E(X) = 1/λ = 1/10 = 0.1 小时 = 6 分钟
这意味着顾客平均需要等待 6 分钟才能结账。
指数函数分布的期望是一个重要的参数，它提供了分布的平均值。它在各种实际应用中非常有用，从预测等待时间到评估设备可靠性。理解期望的概念对于正确解释和使用指数函数分布至关重要。
THE END
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