指数函数用特征函数求期望方差

导言

在概率论中，期望和方差是两个重要的统计量，它们可以帮助我们了解随机变量的中心趋势和离散程度。对于指数函数，我们可以利用其特征函数来计算期望和方差。

特征函数

特征函数是随机变量的一个重要变换，它将随机变量映射到复数平面的一个函数。对于随机变量 X，其特征函数定义为：

φ(t) = E(e^(itX))

其中，t 是一个实数。

期望

随机变量 X 的期望可以表示为特征函数在 t=0 处的导数：

E(X) = -φ'(0)

证明：

E(X) = ∫x e^(itx) f(x) dx

= -φ'(0)

方差

随机变量 X 的方差可以表示为特征函数在 t=0 处的二阶导数：

Var(X) = -φ''(0) + (E(X))^2

证明：

Var(X) = E((X - E(X))^2)

= -φ''(0) + (E(X))^2

实例

考虑一个服从参数为 λ 的指数分布的随机变量 X。其概率密度函数为：

f(x) = λe^(-λx), x ≥ 0

则其特征函数为：

φ(t) = ∫e^(itx) λe^(-λx) dx

= λ/(λ - it)

代入期望和方差的公式，得到：

E(X) = -φ'(0) = -λ/(λ^2) = 1/λ

Var(X) = -φ''(0) + (E(X))^2 = λ/(λ^3) + (1/λ)^2 = 1/λ^2

特征函数是一种强大的工具，它可以用于计算随机变量的期望和方差。对于指数函数，其特征函数简单易求，因此可以方便地得到其期望和方差。